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线性代数的本质

什么是向量

向量是由方向和长度构成的量。通过由箭头表示。

什么是span

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors is called the span of those two vectors

释义

v向量与w向量全部线性组合构成的向量集合称为“张成的空间”

av + bw 其中a,b都在实数范围内变动

什么是基

The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space

向量空间的一个基是张成(铺开)该空间的一个线性无关向量集

什么是矩阵

矩阵每一列表示一个维度的向量从而描述了一组基向量。矩阵是一种基于基向量改变来描述向量空间线性变换的语言。

什么是线性无关?如何说明向量v,向量w,向量u线性无关

科学家推荐的理解是:存在且仅存在一组标量组合[0,0,0]使得三个向量的加和为0向量时,说明三个向量线性无关
适用于教学目的的解释是:不存在任何一组标量组合[a,b]使的两个向量的加和等于第三个向量,说明三个向量线性无关

什么是线性变换

总结来说,线性变换应当看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换。线性变换有两个特征,其一是直线仍是直线,其二是原点仍是原点。

变换和函数差不多,两者都是input -> output,不过前者有一种运动的概念。

线性变换矩阵的空间几何意义

线性变换实质上变换的是向量空间的基向量,向量空间中的任意一点都可通过变换后的基向量矩阵计算得出。
基向量矩阵,也可以理解为变换矩阵,是指线性变换之后基向量(i帽,j帽)的落脚点,即基向量从[[1, 0], [0, 1]]线性变换[[0, -1], [-1, 0]]。